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原标题:数学笔记23——部分分式

浏览次数:55 时间:2019-09-27

  求解被积函数是部分分式P(x)/Q(x)的积分,P(x)和Q(x)是关于x多项式。如果不能求出这类积分的原函数,结果将令人沮丧,现在我们要试图寻找一个有效的方法求解这类问题。

选定系数法

图片 1

  这个很容易:

图片 2

  但是如果将其写成:图片 3 看起来就不那么容易求解了。这就要求我们能够去掉部分分式的伪装,也就是展开部分分式,变成我们熟悉的被积函数。

  首先对被积函数的分母进行因式分解,利用初中的十字相乘法:

图片 4

  再将其拆分为新的等式:

 图片 5

  最后再求出A和B,这需要一点技巧。现将等式两边都乘以x – 1, 以便消去其中一个分式的分母:

图片 6

  将x = 1代入等式,这样就可以消去B的分式,直接求得A:

 图片 7

  用同样的方法可求得B = 3。于是:

 图片 8

  掩盖法能够工作必须满足两个条件:

  1. Q(x)能够被因是分解;
  2. P(x)的最高次数 < Q(x)的最高次数

展开部分分式

图片 9

  这里不能直接展开成:图片 10,这是无法求解的。对于分母是高次项的部分分式,其展开的形态应当型如:

 图片 11

  所以:

图片 12

  这种方法不能求解A,因为没法消除B项。但是可以使用古老的代数法求解,随便找一个数字,代入即可,这里令x = 0,等式变为:

图片 13

  最终:

图片 14

无法线性展开的高次分式

  将分母的多项式因式分解后,如果每个因式的最高次项都是1次,则称该多项式可以线性展开,如 x3 – 3x 2 = (x – 1)2(x 2),对于不能线性展开的多项分式如何求解呢?

 图片 15

  首先是仍然是因式分解:

 图片 16

  然后要将部分分式展开,与之前不同,分子要加入一次项:

 图片 17

  用选定系数法求出A:

 图片 18

  接下来要设法求解B和C,先将分母全部消去:

图片 19

  此时我们观察等式最高次项的次数,右侧展开后会得到Ax2

  • Bx2,等式左右两边的高次项系数应当相等:

 图片 20

  由于省略号代表的表达式中将不会出现x2,故B = 1/2,代入可求得C = 1/2

  最后求解积分:

 图片 21

  现在面对的就是积分问题了,所以并不是说部分分式展开就万事大吉。第一部分很容易求解,答案是(ln|x

  • 1|)/2,第二部分可用猜测法求得原函数(ln(x2 1))/4,第三部分需要借助三角替换,令x = tanθ

图片 22

  最终:

 图片 23

处理假分式

  如果P(x)的次数大于Q(x)的次数,多项式就是一个假分式,这类问题只要将其变为真分式就可以处理。

 图片 24

  与部分分式相反,第一步是计算多项式:

 图片 25

  用除法将其变为真分式,这个过程实际上是将小学学过的除法竖式应用于多项式:

图片 26

  商是x – 1,余数是3x – 2,所以:

 图片 27

  又看到了部分分式:

 图片 28

超级复杂的积分

  被积函数作为部分分式展开:

 图片 29

  一共有12个未知数,正好和部分分式的最高次数相同。这里并不打算求解这些未知数,只是用该列表示我们可以处理复杂的有理数积分。

  然而即便展开了部分分式,仍然会面临复杂的积分处理。这个例子将会遇到下面的积分:

 图片 30

  一共有12个未知数,正好和部分分式的最高次数相同。这里并不打算求解这些未知数,只是用该列表示我们可以处理复杂的有理数积分。

  然而即便展开了部分分式,仍然会面临复杂的积分处理。这个例子将会遇到下面的积分:

图片 31

图片 32

  没完没了了,应该放弃计算,交给计算机处理,只要知道计算思路即可。

示例

示例1

图片 33

图片 34

示例2

图片 35

图片 36

示例3

图片 37

 图片 38

图片 39

tanθ=2x

图片 40

示例4

 图片 41

图片 42

 


  作者:我是8位的

  出处:

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